Chứng tỏ giá trị của các biểu thức sau là số hữu tỷ:
A=\(\frac{2}{\sqrt{5}-3}-\frac{2}{\sqrt{5}+3}\)
B=\(\sqrt{\frac{18}{4+\sqrt{15}}}-\frac{3}{2+\sqrt{3}}-3\sqrt{5}\)
Chứng tỏ giá trị của các biểu thức sau là số hữu tỷ:
B=\(\sqrt{\frac{18}{4+\sqrt{15}}}-\frac{3}{2+\sqrt{3}}-3\sqrt{5}\)
\(B=\sqrt{\frac{18}{4+\sqrt{15}}}-\frac{3}{2+\sqrt{3}}-3\sqrt{5}.\)
Thấy có 3 cái biểu thức nên mình tách ra làm từng cái nhé
\(\sqrt{\frac{18}{4+\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{4+\sqrt{15}}}=\frac{\sqrt{2}.\sqrt{18}}{\sqrt{2}\left(\sqrt{4+\sqrt{15}}\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{6}{\sqrt{8+2\sqrt{15}}}=\frac{6}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\)( Khúc biển đổi ở mẫu là hẳng đẳng thức nha bạn )
\(\frac{6}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{6\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}=\frac{6\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{5-3}=\frac{6\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{2}\left(1\right).\)
\(\frac{3}{2+\sqrt{3}}=\frac{3\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}=\frac{3\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}=\frac{6\left(2-\sqrt{3}\right)}{2}\left(2\right).\)
\(3\sqrt{5}=\frac{6\sqrt{5}}{2}\left(3\right).\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\)
\(B=\frac{6\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{2}-\frac{6\left(2-\sqrt{3}\right)}{2}-\frac{6\sqrt{5}}{2}=6\left(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}-2+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2}\right)\)
\(B=6.\left(-1\right)\)
\(B=-6\)
-6 là số hữu tỉ => biểu thức là số hữu tỉ
Chứng tỏ giá trị của các biểu thức sau là số hữu tỷ:
A=\(\frac{2}{\sqrt{5}-3}-\frac{2}{\sqrt{5}+3}\)
\(A=\frac{2}{\sqrt{5}-3}-\frac{2}{\sqrt{5}+3}\)
\(=\frac{2\left(\sqrt{5}+3\right)}{\left(\sqrt{5}-3\right)\left(\sqrt{5}+3\right)}-\frac{2\left(\sqrt{5}-3\right)}{\left(\sqrt{5}+3\right)\left(\sqrt{5}-3\right)}\)
\(=\frac{2\sqrt{5}+6}{-4}-\frac{2\sqrt{5}-6}{-4}\)
\(=-3\)
Vậy A là số hữu tỉ
Chứng tỏ giá trị các biểu thức sau là số hữu tỉ
a) \(\frac{2}{\sqrt{7}-5}-\frac{2}{\sqrt{7}+5}\) b)\(\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}\)
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:\(\frac{1}{1\sqrt{2}+2\sqrt{1}}+\frac{1}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{4}+4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2017\sqrt{2018}+2018\sqrt{2017}}\)
Bài 2: Chứng minh rằng các biểu thức sau có giá trị là số nguyên
A = \(\left(\sqrt{57}+3\sqrt{6}+\sqrt{38}+6\right)\left(\sqrt{57}-3\sqrt{6}-\sqrt{38}+6\right)\)
B = \(\frac{2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\)
chứng tỏ giá trị các biểu thức sau là số hữu tỉ
a) \(\frac{2}{\sqrt{7}-5}\) - \(\frac{2}{\sqrt{7}+5}\)
b) \(\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\) + \(\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}\)
a: \(=\dfrac{2\sqrt{7}+10-2\sqrt{7}+10}{7-25}=\dfrac{20}{-18}=\dfrac{-10}{9}\) là số hữu tỉ
b: \(=\dfrac{12+2\sqrt{35}+12-2\sqrt{35}}{2}=\dfrac{24}{2}=12\) là số hữu tỉ
a) Rút gọn biểu thức:\(\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{1-\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{5}-5}{1-\sqrt{5}}\right):\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{5}}\)
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B=\(x^2-x\sqrt{3}+1\)
a) \(\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{1-\sqrt{3}}-\dfrac{\sqrt{5}-5}{1-\sqrt{5}}\right):\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{5}}\)
\(=\left[-\dfrac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-1\right)}{\sqrt{3}-1}-\dfrac{\sqrt{5}\left(1-\sqrt{5}\right)}{1-\sqrt{5}}\right]\cdot\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\)
\(=\left(-\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\)
\(=-\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\)
\(=-\left(2-5\right)\)
\(=-\left(-3\right)\)
\(=3\)
b) Ta có:
\(x^2-x\sqrt{3}+1\)
\(=x^2-2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot x+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\)
\(=\left(x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\)
Mà: \(\left(x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\ge0\forall x\) nên
\(\left(x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{1}{4}\forall x\)
Dấu "=" xảy ra:
\(\left(x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Vậy: GTNN của biểu thức là \(\dfrac{1}{4}\) tại \(x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
a)
\(\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{1-\sqrt{3}}-\dfrac{\sqrt{5}-5}{1-\sqrt{5}}\right):\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{5}}\\ =\left(-\dfrac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-1\right)}{\sqrt{3}-1}-\dfrac{\sqrt{5}\left(1-\sqrt{5}\right)}{1-\sqrt{5}}\right).\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\\ =\left(-\sqrt{2}-\sqrt{5}\right).\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\\ =-\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\\ =-\left(\sqrt{2}^2-\sqrt{5}^2\right)\\ =-\left(2-5\right)\\ =-\left(-3\right)\\ =3\)
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
\(A=\frac{a^3-3a+\left(a^2-1\right)\sqrt{a^2-4}-2}{a^3-3a+\left(a^2-1\right)\sqrt{a^2-4}+2}\left(a>2\right)\)
\(B=\sqrt{\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\sqrt{\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{\left(a^2+b^2\right)^2}}}\left(ab\ne0\right)\)
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:
\(E=\frac{1}{1\sqrt{2}+2\sqrt{1}}+\frac{1}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{4}+4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2017\sqrt{2018}+2018\sqrt{2017}}\)
Bài 3: Chứng minh rằng các biểu thức sau có gúa trị là số nguyên
\(A=\left(\sqrt{57}+3\sqrt{6}+\sqrt{38}+6\right)\left(\sqrt{57}-3\sqrt{6}-\sqrt{38}+6\right)\)
\(B=\frac{2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\)
Bài 1: Giải phương trình sau:
\(2x^2+5+2\sqrt{x^2+x-2}=5\sqrt{x-1}+5\sqrt{x+2}\)
Bài 2: Cho biểu thức
\(P=\left(\frac{6x+4}{3\sqrt{3x^2}-8}-\frac{\sqrt{3x}}{3x+2\sqrt{3x}+4}\right).\left(\frac{1+3\sqrt{3x^2}}{1+\sqrt{3x}}-\sqrt{3x}\right)\)
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức P
b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P có giá trị nguyên
Bài 3: Cho biểu thức
\(A=\frac{\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}}{\sqrt{1-\frac{8}{x}+\frac{16}{x^2}}}\)
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A
b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên
Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x .
M=\(\frac{2x}{x+3\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}+1}{x+4\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}+10}{x+5\sqrt{x}+6}\)
\(\frac{2x}{x+3\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}+1}{x+4\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}+10}{x+5\sqrt{x}+6}\)
\(=\frac{2x}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{5\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}+\frac{\sqrt{x}+10}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)
\(=\frac{2x\left(\sqrt{x}+3\right)+\left(5\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)+\left(\sqrt{x}+10\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)
\(=\frac{2\sqrt{x^3}+6x+5x+11\sqrt{x}+2+x+11\sqrt{x}+10}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)
\(=\frac{12x+22\sqrt{x}+2\sqrt{x^3}+12}{6x+11\sqrt{x}+\sqrt{x^3}+6}\)
\(=\frac{2\left(6x+11\sqrt{x}+\sqrt{x^3}+6\right)}{6x+11\sqrt{x}+\sqrt{x^3}+6}\)
\(=2\) (ko phụ thuộc vào biến ) (đpcm)